Question

14、等比數列{a_n}前n項的積為T_n，若a₃•a₆•a₁₂是一個確定的常數，那么T₁₀、T₁₃、T₁₅、T₁₇中也是常數的是

T₁₃

．

Answer 1

分析：利用等比數列的通項公式化簡a₃•a₆•a₁₂后，利用同底數冪的乘法法則及冪的乘方的運算法則化簡可得數列第七項的值，然后根據等比數列{a_n}前n項的積為T_n，列舉出T₁₃的各項，把13項的項數之和為14的結合在一起成6對與第七項相乘的形式，利用等比數列的性質得到每一對都等式第七項的平方，即可得到T₁₃為常數．

解答：解：由a₃•a₆•a₁₂=a₁q²•a₁q⁵•a₁q¹¹=（a₁q⁶）³=a₇³為常數，所以a₇為常數，
則T₁₃=a₁•a₂…a₁₃=（a₁•a₁₃）（a₂•a₁₂）（a₃•a₁₁）（a₄•a₁₀）（a₅a₉）（a₆•a₈）•a₇
=a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇²•a₇=a₇¹³為常數．
故答案為：T₁₃

點評：此題考查學生靈活運用等比數列的通項公式化簡求值，要去學生掌握等比數列的性質，是一道中檔題．