Question

10．已知a為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點，且A在B的左邊．
（1）解關于x不等式f（x）＞f（1）；
（2）求AB的最小值；
（3）如果a∈[1，2$\sqrt{2}$]，求OA的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞f（1）可化為：ax²-a²x+a²-a＞0（a＞0）；對a值進行分類討論，可得不等式的解集，
（2）由函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，可得AB=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$，利用基本不等式可得AB的最小值，
（3）求出OA=-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$=$\frac{2}{{a}^{3}+a\sqrt{{a}^{2}+4}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）關于x不等式f（x）＞f（1），即 ax²-a²x-$\frac{1}{a}$＞a-a²-$\frac{1}{a}$，即 （x-1）[x-（a-1）]＞0．
a＞2時，不等式的解集為（-∞，1）∪（ a-1，+∞）；
當a=2時，不等式的解集為（-∞，1）∪（ 1，+∞）；
a＜2時，不等式的解集為（-∞，1-a）∪（ 1，+∞）．
（2）∵函數(shù)f（x）的圖象與x軸交于A，B兩點，
∴AB=$\frac{\sqrt{△}}{|a|}$=$\frac{\sqrt{{a}^{4}+4}}{a}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{4}{{a}^{2}}}$≥$\sqrt{2\sqrt{{a}^{2}•\frac{4}{{a}^{2}}}}$=2，當且僅當a=$\sqrt{2}$時取等號，
故AB的最小值為2．
（3）∵函數(shù)f（x）=ax²-a²x-$\frac{1}{a}$的圖象與x軸交于A，B兩點，
故A，B兩點坐標為（$\frac{{a}^{2}±\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$，0），
∴OA=-$\frac{{a}^{2}-\sqrt{{a}^{4}+4}}{2a}$=$\frac{2}{{a}^{3}+a\sqrt{{a}^{2}+4}}$，
∵a∈[1，2$\sqrt{2}$]，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴OA的取值范圍是[$\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{6}}{52}$，$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$]．

點評 本題考查的知識點是一元二次不等式的解法，二次函數(shù)，基本不等式，判斷三角形的形狀，綜合性強，屬于難題．