Question

1．設(shè)點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，f（x₂））分別是函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³和g（x）=x-1圖象上的點，且x₁≥0，x₂≥0，若直線MN∥x軸，則M，N兩點間的距離的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)題意可知f（x₁）=g（x₂），令h（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³+1-x，x≥0，求出其導(dǎo)函數(shù)，進而求得h（x）的最小值即為M、N兩點間的最短距離．

解答 解：∵當x≥0時，f'（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²＞0，∴函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵點M（x₁，f（x₁））和點N（x₂，g（x₂））分別是函數(shù)f（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³和g（x）=x-1圖象上的點，
且x₁≥0，x₂＞0，若直線MN∥x軸，則f（x₁）=g（x₂），即f（x）=sinx₁+$\frac{1}{6}$x₁³=x₂-1，
則M，N兩點間的距離為x₂-x₁=sinx₁+$\frac{1}{6}$x₁³+1-x₁．
令h（x）=sinx+$\frac{1}{6}$x³+1-x，x≥0，則h′（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1，h″（x）=-sinx+x≥0，
故h′（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h′（x）=cosx+$\frac{1}{2}$x²-1≥h′（0）=0，
故h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）的最小值為h（0）=1，
即M，N兩點間的距離的最小值為1，
故選：A．

點評 本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．