Question

【題目】設函數在單調遞增，其中.

（1）求的值；

（2）若，當時，試比較與的大小關系（其中是的導函數），請寫出詳細的推理過程；

（3）當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：

(1)利用導函數結合恒成立的條件可得；

(2)結合題意可知，據此可得函數f(x)的解析式，結合函數的解析式可得.

(3)構造新函數，結合函數的特征和恒成立的條件可得的取值范圍是.

試題解析：

（1）∵在單調遞增，∴在上恒成立，即恒成立.∵當時， ， ∴，又，∴，∴，∴.

（2）由（1）可知，∴ ，∴，∴，令，∴，∴在上單調遞增，∴，令，則在單調遞減，∵，∴，使得在單調遞增，在單調遞減，∵，∴，∴，又兩個函數的最小值不同時取得： ，即： .

（3）∵恒成立，即： 恒成立，令，則，由（1）得： 即，∴,即： ，∴，∴，當時，∵，∴ ，∴單調遞增，∴，符合題意；當時， 在上單調遞增， ，∴單調遞增，∴，符合題意；當時， 在上是增函數，∴ ，∴單調遞增，∴，符合題意；當時， ，∴在上單調遞增，又，且，∴在存在唯一零點，∴在單調遞減，在單調遞增，∴當時， ，∴在單調遞減，∴，不合題意，綜上： .