Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣2x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，

由x∈[﹣5，5]得：

x=﹣5時(shí)，函數(shù)取最大值37，

x=1時(shí)，函數(shù)取最小值1

（2）解：函數(shù)f（x）=x2+2ax+2的圖象是開口朝上，且以直線x=﹣a為對(duì)稱軸的拋物線，

若﹣a＜﹣5，即a＞5，函數(shù)f（x）在[﹣5，5]上為增函數(shù)，

當(dāng)x=﹣5時(shí)，函數(shù)取最小值27﹣10a；

若﹣5≤﹣a≤5，即﹣5≤a≤5，函數(shù)f（x）在[﹣5，﹣a]上為減函數(shù)，在[﹣a，5]上為增函數(shù)，

當(dāng)x=﹣a時(shí)，函數(shù)取最小值2﹣a2；

若﹣a＞5，即a＜﹣5，函數(shù)f（x）在[﹣5，5]上為減函數(shù)，

當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取最小值27+10a．

綜上可得：函數(shù)f（x）的最小值為：

【解析】（1）當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣2x+2的圖象是開口朝上，且以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線，進(jìn)而可得函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（2）函數(shù)f（x）=x2+2ax+2的圖象是開口朝上，且以直線x=﹣a為對(duì)稱軸的拋物線，分類討論對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系，綜合討論結(jié)果，可得答案．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．