12.設(shè)定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足:
(1)對任意的實數(shù)x,都有f(-x)-f(x)=0;
(2)對任意的實數(shù)x,都有f(x+π)+f(x)=1;
(3)當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1;
(4)當(dāng)x∈(0,$\frac{π}{2}$)∪($\frac{π}{2}$,π)時,有(x-$\frac{π}{2}$)f′(x)>0(其中f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).
則方程f(x)=|sinx|在[-2π,2π]上的根的個數(shù)為(  )
A.4B.6C.8D.10

分析 利用已知條件判斷函數(shù)f(x)的性質(zhì),畫出函數(shù)f(x)的圖象,y=|sinx|的圖象,即可判斷方程根的個數(shù).

解答 解:定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足:(1)對任意的實數(shù)x,都有f(-x)-f(x)=0,可得函數(shù)f(x)是偶函數(shù);
(2)對任意的實數(shù)x,都有f(x+π)+f(x)=1,可得f(x+2π)+f(x+π)=1,即f(x+2π)=f(x),函數(shù)的周期為2π;
(3)當(dāng)x∈[0,π]時,0≤f(x)≤1,可得函數(shù)的值域為:[0,1];
(4)當(dāng)x∈(0,$\frac{π}{2}$)∪($\frac{π}{2}$,π)時,有(x-$\frac{π}{2}$)f′(x)>0,可知函數(shù)y=f(x)在x∈(0,$\frac{π}{2}$)是減函數(shù),x∈($\frac{π}{2}$,π)是增函數(shù).
由上作出函數(shù)y=f(x)與y=|sinx|在[-2π,2π]上的圖象如圖:

由圖可知,方程f(x)=|sinx|在[-2π,2π]上的根的個數(shù)為8.
故選:C.

點評 本題考查根的存在性與根的個數(shù)判斷,考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.

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