Question

如圖，橢圓E：＝1(a＞b＞0)的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e＝.過F1的直線交橢圓于A、B兩點，且△ABF2的周長為8.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)動直線l：y＝kx＋m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x＝4相交于點Q.試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1（2）存在定點M(1，0)，

【解析】學生錯【解析】
【解析】
(1)略

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.

因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)

此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.

由得Q(4，4k＋m)．

假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上．

設(shè)M(x1，0)，則·＝0對滿足(*)式的m，k恒成立．

因為＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)，方程無解．

故不存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.

審題引導：(1)建立方程組求解參數(shù)a，b，c；(2)恒成立問題的求解；(3)探索性問題的一般解題思路．

規(guī)范解答：【解析】
(1)因為AB＋AF2＋BF2＝8，

即AF1＋F1B＋AF2＋BF2＝8，(1分)

又AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝2a，(2分)

所以4a＝8，a＝2.又因為e＝，即＝，所以c＝1，(3分)

所以b＝＝.故橢圓E的方程是＝1.(4分)

(2)由消去y得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分)

因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，(6分)

即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)(7分)

此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.(8分)

由得Q(4，4k＋m)．(9分)

假設(shè)平面內(nèi)存在定點M滿足條件，由圖形對稱性知，點M必在x軸上．(10分)

設(shè)M(x1，0)，則·＝0對滿足(*)式的m，k恒成立．

因為＝，＝(4－x1，4k＋m)，

由·＝0，得－－4x1＋＋＋3＝0，

整理，得(4x1－4)＋－4x1＋3＝0.(**)(12分)

由于(**)式對滿足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.(13分)

故存在定點M(1，0)，使得以PQ為直徑的圓恒過點M.(14分)

錯因分析：本題易錯之處是忽視定義的應用；在處理第(2)問時，不清楚圓的對稱性，從而不能判斷出點M必在x軸上．同時不會利用恒成立求解．