Question

【題目】如圖，已知拋物線的焦點為.

若點為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交軸于點，證明：.

，是拋物線上兩點，線段的垂直平分線交軸于點 (不與軸平行)，且.過軸上一點作直線軸，且被以為直徑的圓截得的弦長為定值，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】證明見解析； .

【解析】

設(shè)的坐標(biāo)，求出在處的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出在處的切線的方程，令求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值，到準(zhǔn)線的距離為的值可得，進(jìn)而可得結(jié)論；

設(shè)直線的方程與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進(jìn)而求出弦長，再求線段的中點坐標(biāo)，求出的中垂線的方程，將點代入中垂線的方程可得參數(shù)的關(guān)系，設(shè)的坐標(biāo)，由以為直徑的圓截直線的弦長為定值可得的坐標(biāo)，進(jìn)而求出到直線的距離，代入面積公式可得關(guān)于直線斜率的表達(dá)式，令函數(shù)求導(dǎo)可得函數(shù)的最大值，即求出面積的最大值.

解：由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程：，設(shè)，

由拋物線的方程可得，所以在處的切線的斜率為：，

所以在處的切線方程為：，

令，可得，

即，

所以，而到準(zhǔn)線的距離，由拋物線的性質(zhì)可得

所以，，

可證得：.

設(shè)直線的方程為：，，，

直線與拋物線聯(lián)立，

整理可得：，

，

即，

，，，

所以的中點坐標(biāo)為：，

所以線段的中垂線方程為：，

由題意中垂線過，所以，即，①

由拋物線的性質(zhì)可得：，

所以，即，②

設(shè)，，

的中點的縱坐標(biāo)為，

所以以為直徑的圓與直線的相交弦長的平方為：

，

要使以為直徑的圓截得的弦長為定值則可得，時相交弦長的平方為定值，即

所以到直線的距離為：，

而弦長

，

所以，

將①代入可得

，

設(shè)為偶函數(shù)，

只看的情況即可，

令，

當(dāng)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)，，單調(diào)遞減，

所以且上，為最大值，

所以的最大值為：.