Question

若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x+y＞2．求證：

1+x

y

和

1+y

x

中至少有一個(gè)小于2．

Answer 1

考點(diǎn)：反證法與放縮法

專(zhuān)題：證明題,反證法

分析：本題證明結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來(lái)證明結(jié)論成立．

解答： 證明：假設(shè)

1+x

y

與

1+y

x

都大于或等于2，
即

1+x

y

≥2且

1+y

x

≥2，
∵x，y∈R⁺，故可化為1+x≥2y且1+y≥2x，
兩式相加，得x+y≤2，
與已知x+y＞2矛盾．
∴假設(shè)不成立，即原命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本考點(diǎn)是反證法證明命題，在作證明題時(shí)，對(duì)于一些條件相對(duì)較少或者證明時(shí)需要分類(lèi)討論的題型，最好試試用反證法能否證明問(wèn)題．對(duì)于有些題如本題，用反證法證明可以大大降低題目的解決難度．