Question

4．已知x=1是$f（x）=2x+\frac{x}+lnx$的一個極值點．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=f（x）-\frac{3+a}{x}$，若函數(shù)g（x）在區(qū)間[1，2]內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的極值點，求解b，然后驗證求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果即可．

解答 解：（1）因為x=1是$f（x）=2x+\frac{x}+lnx$的一個極值點，
所以f′（1）=0，解得b=3，經(jīng)檢驗，適合題意，所以b=3-------------------------（2分）
定義域為（0，+∞），f′（x）=2-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$＜0，解得x∈（-$\frac{3}{2}$，1）------------（4分）
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，1]-------------------------------------（6分）
（2）$g（x）=f（x）-\frac{3+a}{x}=2x+lnx-\frac{a}{x}$，$g'（x）=2+\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}$--------（8分）
因為函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增，所以g'（x）≥0恒成立，即$2+\frac{1}{x}+\frac{a}{x^2}≥0$恒成立
所以a≥-2x²-x，即a≥（-2x²-x）_max--------（10分）
而在[1，2]上（-2x²-x）_max=-3
所以a≥-3--------（12分）．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．