Question

19．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-4x+c，g（x）=lnx+（b-1）x+4，曲線y=f（x）在x=1處的切線方程為3x-y+1=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若對(duì)?x₁∈[-3，0]，?x₂∈[0，+∞）恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出a，c，即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對(duì)?x₁∈[-3，0]，?x₂∈[0，+∞）恒有f（x₁）≥g（x₂）成立，等價(jià)于f（x）_min≥g（x）_max，即可求b的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³+ax²-4x+c，
∴f′（x）=3x²+2ax-4，∴f′（1）=2a-1=3，∴a=2
將切點(diǎn)（1，4）代入函數(shù)f（x），可得c=5，
∴f（x）=x³+2x²-4x+5；
（Ⅱ）令f′（x）=（x+2）（3x-2）＞0，可得x＜-2，f′（x）＞0，-2＜x＜0，f′（x）＜0，
∵f（-3）=8，f（0）=5，
∴?x₁∈[-3，0]，f（x）_min=f（0）=5，
∵g（x）=lnx+（b-1）x+4，∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+b-1，
b-1≥0，b≥1，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，沒有最大值，不合題意，舍去；
b-1＜0，b＜1，令g′（x）=0，x=$\frac{1}{1-b}$，
∴x∈（0，$\frac{1}{1-b}$），g′（x）＞0，∴g（x）單調(diào)遞增，
x∈（$\frac{1}{1-b}$，+∞），g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
∴g_max（x）=ln$\frac{1}{1-b}$+3，
∴5≥ln$\frac{1}{1-b}$+3，
∴b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，屬于中檔題．