Question

已知m∈R，函數f（x）=x²-m^x，g（x）=lnx．
（1）當x∈[1，2]時，如果函數f（x）的最大值為f（1），求m的取值范圍；
（2）若對有意義的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）當m在什么范圍內取值時，方程f（x）=g（x）分別無實根？只有一實根？有兩個不同實根？

Answer 1

分析：（1）本問題求出函數的最值代入已知最大值為f（1），即可解得參數m的值，
（2）本題恒成立問題轉化為函數的最值來解答，具體方法是由f（x）＞g（x）等價于x²-mx＞lnx，即m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

，構造出函數t(x)=x-

lnx

x

，利用導數工具可以求解．
（3）我們對本題可以這樣處理，想根據函數y=x²，y=mx，y=lnx的圖象的增減性，判斷猜測出參數m取值時分別對應方程的根的情況，然后來證明這個結論．證明時可利用新構造的函數h（x）=f（x）-g（x），利用導數以及函數的單調性，求出函數的最值來判斷根x₀的性質以辨別是否存在這個根．

解答：解：（1）函數f（x）=x²-mx的圖象開口向上，函數在x=1或x=2處取得最大值，則f（1）≥f（2），1-m≥4-2m，得：m≥3．
（2）f（x）＞g（x）等價于x²-mx＞lnx，其中x＞0，即：由m＜

x2-lnx

x

=x-

lnx

x

，令t(x)=x-

lnx

x

，得t′(x)=

x2+lnx-1

x2

，
當x=1時t′（x）=0，當x∈（0，1）時t′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時t′（x）＞0，m＜t（x）_min=t（1）=1，∴m＜1．
（3）設h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，其中x＞0．觀察得當m=1時，方程f（x）=g（x）即為：x²-x-lnx=0的一個根為x=1．猜測當m＜1，m=1，m＞1時方程分別無根，只有一個根，有且只有兩個根．
證明：∵h′（x）=2x-m-

1

x

=

2x2-mx-1

x2

=0，等價于2x²-mx-1=0此方程有且只有一個正根為x0=

m+ m2+8

4

，
且當x∈（0，x₀）時，h′（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，h′（x）＞0，函數只有一個極值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．
1°當m＜1時，由（2）得f（x）＞g（x）恒成立，方程無解．
2°當m=1時，x₀=1，h（x）_min=h（1）=0，則h（x）≥h（x）_min=0，當且僅當x=1時，h（x）=0，此時只有一個根x=1．
3°當m＞1時，x0=

m+ m2+8

4

，關于m在（1，+∞）上遞增，∴x₀∈（1，+∞）時lnx₀＞0，∵m＞1?1＜m²?8＜8m²?m²+8＜9m²?

m2+8

＜3m
?m+

m2+8

＜4m?

m+ m2+8

4

＜ m?x₀＜m．∴h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0．證畢

點評：本題考查二次函數在定區(qū)間上的最值問題，函數類型簡單，是一個二次函數，第一問的設計很容易，后面兩問的綜合性較強，對學生的邏輯思維能力，運算能力有很好的鍛煉價值，本題第二小題是一個恒成立的問題，求參數的范圍，一般轉化最值問題來求解，本題第三問也是構造函數來解答，轉化為利用導數研究新構造的函數的單調性求出函數的最值，結合最值來判斷根的存在與否．本題對運算能力有一定的要求，解題時一定要嚴謹．考查的思想方法有分類討論，構造函數等方法思想．