Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，則使$\frac{n{S}_{n}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最小值時n的值為1．

Answer 1

分析 運用a_n+1=S_n+1-S_n，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，運用等差數(shù)列的定義和通項公式，可得S_n=$\frac{1}{n}$，化簡所給式子，可得單調(diào)性，即可得到最小值及對應(yīng)的n的值．

解答 解：由a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，
可得S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，
即有$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，且$\frac{1}{{S}_{1}}$=1，
故數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
可得$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，
故S_n=$\frac{1}{n}$，
則$\frac{n{S}_{n}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{1+\frac{10}{{n}^{2}}}$，
由$\frac{1}{1+\frac{10}{{n}^{2}}}$在定義域Z+上遞增，
可得n=1時，取得最小值$\frac{1}{11}$；無最大值．
故答案為：1．

點評 本題考查了數(shù)列的通項與前n項和的關(guān)系，同時考查了整體思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運用，屬于中檔題．