Question

【題目】已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且滿足
（Ⅰ）求證：{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè) ，求證： ．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵滿足 ，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，
由（1）﹣（2）得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣4）=0（an＞0）
則an﹣an﹣1=4，∴{an}是以4為公差的等差數(shù)列．a(chǎn)n=4n﹣2．
（Ⅱ）證明：

設(shè) ，則f（n+1）﹣f（n）＜0
所以，{f（n）}遞減，
即： ．
【解析】（1）利用數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．（2）通過放縮，利用數(shù)列的單調(diào)性即可證明．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題．