Question

已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n和為S_n，且是與（a_n+1）²的等比中項(xiàng)．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n；
（3）在（2）的條件下，是否存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等比數(shù)列？若存在，試求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可得，利用可把已知條件轉(zhuǎn)化為a_n-a_n-1=2，從而可證．
（2）由（1）代入可得，用“乘公比錯(cuò)位相減”求數(shù)列的和．
（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，使得數(shù)列為等比數(shù)列⇒，結(jié)合等比的通項(xiàng)公式可得，從而可求λ．
解答：解：（1）∵，∴，∴a₁=1（a_n＞0）
當(dāng)n≥2時(shí)，，∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}為等差數(shù)列．（4'）
（2）由（1）知，{a_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n-1
∴，①
，①
②
①-②得：
∴（9'）
（3）∵
易知，當(dāng)λ=-3時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列．（13'）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式及利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，還考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減求數(shù)列的和等知識(shí)的綜合，屬于對(duì)基本知識(shí)、基本方法的簡(jiǎn)單運(yùn)用的考查．