Question

已知3x+4y+4=0，求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，把求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值轉(zhuǎn)化為求直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，5）與到點(diǎn)B（2，15）的距離的和的最小值，結(jié)合圖形即可解答．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，y）是直線3x+4y+4=0的點(diǎn)，求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值即
求點(diǎn)P到點(diǎn)A（-3，5）與到點(diǎn)B（2，15）的距離的和的最小值，
畫出圖形，如圖所示；
求出點(diǎn)A關(guān)于直線3x+4y+4=0的對稱點(diǎn)A₁，則|A₁B|就是|PA|+|PB|的最小值，
∴設(shè)A₁（a，b），則

3• a-3 2 +4• b+5 2 +4=0 b-5 a+3 •(- 3 4 )=-1

，
即 

3a+4b=-19 4a-3b=-27

；
解得

a=- 33 5 b= 1 5

，
∴A₁（-

33

5

，

1

5

）；
∴|A₁B|=

(2+ 33 5 )2+(15- 1 5 )2

=

293

，
∴

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值是

293

．

點(diǎn)評：本題考查了求函數(shù)最小值的問題，解題時應(yīng)結(jié)合圖形，利用幾何方法求出最小值來，是計算量較大的題目．