Question

已知橢圓E：＝1(a>b>0)的右焦點為F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|的最小值為2.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若圓x2＋y2＝的切線L與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，OP(O為坐標原點)與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1（2）垂直

【解析】(1)設A(x0，y0)，則B(－x0，－y0)，F(c,0)(c2＝a2－b2)

|AF|＋|BF|＝2a＝2，∴a＝.

又|AB|＝?＝2 ，0≤≤a2，

∴|AB|min＝2b＝2，∴b＝1，∴橢圓E的方程為＋y2＝1.

(2)由題設條件可知直線L的斜率存在，設直線L的方程為y＝kx＋m.

∵直線L與圓x2＋y2＝相切，∴，

∴m2＝ (k2＋1)．

將y＝kx＋m代入＋y2＝1中得，

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)＞0.

令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1≠x2，

則x1＋x2＝①，x1x2＝②，

y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝③.

∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝＝0，

∴⊥，即OP與OQ垂直