Question

設向量

a

=(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，

b

=(-

1

2

，

3

2

)，且

a

與

b

不共線，
（Ⅰ）求證：

a

+

b

⊥

a

-

b

；
（Ⅱ）若向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，求角α．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,平面向量數量積的坐標表示、模、夾角

專題：平面向量及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得

a

+

b

和

a

-

b

的坐標，作數量積可得（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=0，可得垂直；（Ⅱ）由題意可得（

3

a

+

b

）²=（

a

-

3

b

）²，又可得|

a

|=|

b

|=1，代入可得

a

•

b

=0，由三角函數的知識結合α的范圍可得．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得

a

+

b

=（cosα-

1

2

，sinα+

3

2

），

a

-

b

=（cosα+

1

2

，sinα-

3

2

），
∴（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=cos²α-

1

4

+sin²α-

3

4

=0
∴

a

+

b

⊥

a

-

b

；
（Ⅱ）∵向量

3

a

+

b

與

a

-

3

b

的模相等，
∴（

3

a

+

b

）²=（

a

-

3

b

）²，
∴

a

2-

b

2+2

3

a

•

b

=0，
又∵|

a

|=

cos2α+sin2α

=1，|

b

|=

(- 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，
∴1-1+2

3

a

•

b

=0，解得

a

•

b

=0，
∴-

1

2

cosα+

3

2

sinα=0，
∴tanα=

3

3

，又0≤α＜2π，
∴α=

π

6

，或

7π

6

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，涉及向量的模長和三角函數，屬中檔題．