【題目】已知函數(shù)，其中.

（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（II）若，證明：對任意 ，總有.

【答案】（I）①若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②若時，在上單調(diào)遞增，③若時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（II）證明見解析．

【解析】試題分析：（I）先求函數(shù)導數(shù)，再求導函數(shù)零點或，根據(jù)兩個零點大小分三種情況討論：若，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若時，則在上單調(diào)遞增.若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（II）同（1）可得：當時，在上單調(diào)遞增，因此將所證不等式變量分離得 ，構(gòu)造函數(shù)，只需利用導數(shù)證明函數(shù)單調(diào)遞減

試題解析：解：（I）∵，，

令，得或

①若，則時，；

時，；

時，，

故函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②若時，則在上單調(diào)遞增

③若時，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（II）由（I）可知，當時，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則有，，于是要證，即證，

即證，

令，

∵，

∵，，

∴在上單調(diào)遞減，即有.

故.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某漁場魚群的最大養(yǎng)殖量為噸，為保證魚群的生長空間，實際的養(yǎng)殖量要小于，留出適當?shù)目臻e量，空閑量與最大養(yǎng)殖量的比值叫空閑率，已知魚群的年增加量（噸）和實際養(yǎng)殖量（噸）與空閑率的乘積成正比（設(shè)比例系數(shù)）.

（1）寫出與的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域；

（2）求魚群年增長量的最大值；

（3）當魚群年增長量達到最大值時，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)是上的偶函數(shù)．

（1）求實數(shù)的值；

（2）判斷并證明函數(shù)在上單調(diào)性；

（3）求函數(shù)在上的最大值與最小值．

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【題目】下列命題中正確的是

A. 若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都沒有公共點;

B. 若直線與平面平行，則與平面內(nèi)的任意一條直線都平行;

C. 若直線上有無數(shù)個點不在平面 內(nèi)，則;

D. 如果兩條平行線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品需要煤4噸、電18千瓦；生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品需要煤1噸、電15千瓦。現(xiàn)因條件限制，該企業(yè)僅有煤10噸，并且供電局只能供電66千瓦，若生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品的利潤為10000元；生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品的利潤是5000元，試問該企業(yè)如何安排生產(chǎn)，才能獲得最大利潤？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且b（sinB－sinC）＋（c－a）（sinA＋sinC）＝0．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司為了了解一年內(nèi)的用水情況，抽取了10天的用水量如下表所示：

天數(shù)

1

1

1

2

2

1

2

用水量／噸

22

38

40

41

44

50

95

（Ⅰ）在這10天中，該公司用水量的平均數(shù)是多少？每天用水量的中位數(shù)是多少？

（Ⅱ）你認為應(yīng)該用平均數(shù)和中位數(shù)中的哪一個數(shù)來描述該公司每天的用水量？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知向量．

(1)若分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面的點數(shù)分別為1,2,3,4,5,6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現(xiàn)的點數(shù)，求滿足的概率；

(2)若在連續(xù)區(qū)間上取值，求滿足的概率.

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【題目】已知直線：，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方．

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點且與圓交于，兩點（在軸上方，在軸下方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

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