Question

7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：
第一步：構(gòu)造數(shù)列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$．①
第二步：將數(shù)列①的各項乘以n，得到數(shù)列（記為）a₁，a₂，a₃，…，a_n．則a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n（n-1）．

Answer 1

分析 利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_k=$\frac{n}{k}$．
n≥2時，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²（$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$）．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n²[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）]=n²（1-$\frac{1}{n}$）=n（n-1）．
故答案為：n（n-1）

點評 本題考查了“裂項求和”方法、數(shù)列通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．