Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為梯形，，，，.

（1）當(dāng)時(shí)，試在棱上確定一個(gè)點(diǎn)，使得平面，并求出此時(shí)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，若平面平面，求此時(shí)棱的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)當(dāng)時(shí)，連接，交于點(diǎn)，由平行可以證得，結(jié)合線面平行的判定定理在棱上確定一個(gè)點(diǎn)

(2)取上一點(diǎn)得，連接，構(gòu)造四邊形為正方形，作平面，由證得等邊三角形繼而得點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，建立空間坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，計(jì)算出結(jié)果

（1）在棱上取點(diǎn)，使得，

連接，交于點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，所以，所以，

所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以平面；

（2）取上一點(diǎn)得，連接，則為正方形．

過作平面，垂足為.連接，，，，

，，

所以和都是等邊三角形，

因此，

所以，

即點(diǎn)為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，

分別以，，的方向?yàn)?/span>軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，

由于棱的長為，則，

，，，，

設(shè)平面的法向量為，

則，取，

同理平面的法向量，

由，解得，

即的長為.