Question

（本小題滿分12分）
如圖(1)在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD(如圖2)
(1)求二面角G－EF－D的大��；
(2)在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明過(guò)程.

Answer 1

(1) 45°；(2) 點(diǎn)Q是線段PB的中點(diǎn)

(1)利用向量法求解，先建系，然后求出二面角兩個(gè)面的法向量，再根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補(bǔ)來(lái)解.
（2）易證PC,因?yàn)镋為PC的中點(diǎn)，所以當(dāng)Q為PB的中點(diǎn)時(shí)，PC⊥平面ADQ.也可利用向量法推證.
解：(1)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面GEF的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，則

 取n＝(1，0，1)     …………4分
又平面EFD的法向量為m＝(1，0，0)
∴cos<m，n> ＝                …………6分
∴<m，n>＝45°                           …………7分
(2)設(shè)＝λ (0＜λ＜1)
則＝＋＝(－2＋2λ，2λ，2－2λ)      …………9分
∵AQ⊥PC ó·＝0 ó  2×2λ－2(2－2λ)＝0
ó  λ＝                …………11分
又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ ó λ＝
ó 點(diǎn)Q是線段PB的中點(diǎn).                           …………12分