【題目】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AC=BC=AA1=2,D為側(cè)棱AA1的中點(diǎn).
(1)求異面直線DC1,B1C所成角的余弦值;
(2)求二面角B1-DC-C1的平面角的余弦值.
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz,寫出要用的點(diǎn)的坐標(biāo),寫出兩個(gè)向量的方向向量,根據(jù)兩個(gè)向量所成的角得到兩條異面直線所成的角.
(2)先求兩個(gè)平面的法向量,在第一問的基礎(chǔ)上,有一個(gè)平面的法向量是已知的,只要寫出向量的表示形式就可以,另一個(gè)平面的向量需要求出,根據(jù)兩個(gè)法向量所成的角得到結(jié)果.
(1)如圖所示,以C為原點(diǎn),CA、CB、CC1為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系
C﹣xyz.
則C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2),D(2,0,1).
所以(﹣2,0,1),(0,﹣2,﹣2).
所以cos.
即異面直線DC1與B1C所成角的余弦值為.
(2)因?yàn)?/span>(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2),
所以0,0,
所以為平面ACC1A1的一個(gè)法向量.
因?yàn)?/span>(0,﹣2,﹣2),(2,0,1),
設(shè)平面B1DC的一個(gè)法向量為n,n=(x,y,z).
由,得
令x=1,則y=2,z=﹣2,n=(1,2,﹣2).
所cos<n,.
所以二面角B1﹣DC﹣C1的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016·桂林高二檢測(cè))如圖所示,在四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′-BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論正確的是________.
(1)A′C⊥BD.(2)∠BA′C=90°.
(3)CA′與平面A′BD所成的角為30°.
(4)四面體A′-BCD的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中正確的是( )
A. 若為真命題,則為真命題 B. 若則恒成立
C. 命題“”的否定是“” D. 命題“若則”的逆否命題是“若,則”
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知
(1)判斷并證明的奇偶性.
(2)證明在內(nèi)單調(diào)遞減.
(3),若對(duì)任意的都有,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(k+)lnx+,k∈[4,+∞),曲線y=f(x)上總存在兩點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線y=f(x)在M,N兩點(diǎn)處的切線互相平行,則x1+x2的取值范圍為
A. (,+∞) B. (,+∞) C. [,+∞) D. [,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間,上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果對(duì)任意、,有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機(jī)構(gòu)組織語文、數(shù)學(xué)學(xué)科能力競(jìng)賽,按照一定比例淘汰后,頒發(fā)一二三等獎(jiǎng).現(xiàn)有某考場(chǎng)的兩科考試成績(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示,其中數(shù)學(xué)科目成績(jī)?yōu)槎泉?jiǎng)的考生有人.
(Ⅰ)求該考場(chǎng)考生中語文成績(jī)?yōu)橐坏泉?jiǎng)的人數(shù);
(Ⅱ)用隨機(jī)抽樣的方法從獲得數(shù)學(xué)和語文二等獎(jiǎng)的學(xué)生中各抽取人,進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)試,將他們的綜合得分繪成莖葉圖,求樣本的平均數(shù)及方差并進(jìn)行比較分析;
(Ⅲ)已知本考場(chǎng)的所有考生中,恰有人兩科成績(jī)均為一等獎(jiǎng),在至少一科成績(jī)?yōu)橐坏泉?jiǎng)的考生中,隨機(jī)抽取人進(jìn)行訪談,求兩人兩科成績(jī)均為一等獎(jiǎng)的概率.
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