Question

（理）已知函數(shù)f(x)= -lnx,x∈[1,3].

(Ⅰ)求f(x)的最大值與最小值；

(Ⅱ)若f(x)＜4-At對(duì)于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)求f(x)的最大值為最小值為；(Ⅱ)A<.

【解析】

試題分析：（1）直接求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)為0，求出函數(shù)的極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用最值定理求出f（x）的最大值與最小值；

（2）利用（1）的結(jié)論，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，轉(zhuǎn)化為4-At＞對(duì)任意t∈[0，2]恒成立，通過(guò)　求實(shí)數(shù)A的取值范圍．

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=﹣lnx，

所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，

因?yàn)閤∈[1，3]，

 當(dāng)1＜x＜2時(shí)  f′（x）＜0；當(dāng)2＜x＜3時(shí)，f′（x）＞0；

∴f（x）在（1，2）上單調(diào)減函數(shù)，在（2，3）上單調(diào)增函數(shù)，

∴f（x）在x=2處取得極小值f（2）=﹣ln2；

 又f（1）=，f（3）=，

∵ln3＞1∴

∴f（1）＞f（3），

∴x=1時(shí) f（x）的最大值為，

x=2時(shí)函數(shù)取得最小值為﹣ln2．

（2）由（1）知當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f（x），

故對(duì)任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，

只要4﹣At＞對(duì)任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立

記 g（t）=At，t∈[0，2]

∴，解得A，

∴實(shí)數(shù)A的取值范圍是（﹣∞，）．

考點(diǎn)：1、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．