Question

3．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，∠ABC=$\frac{π}{2}$，D是棱AC的中點(diǎn)，且AB=BC=BB₁=4．
（Ⅰ）求證：AB₁∥平面BC₁D；    
（Ⅱ）求異面直線AB₁與BC₁所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)CB₁交BC₁于點(diǎn)O，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，O為B₁C的中點(diǎn)，且D是棱AC的中點(diǎn)，可得AB₁∥OD，利用線面平行的判定定理即可．
（Ⅱ）AB₁∥OD，可得∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補(bǔ)角．解△OBD即可求出異面直線AB₁與BC₁所成的角．

解答 解：（Ⅰ）連結(jié)CB₁交BC₁于點(diǎn)O，…（1分）
側(cè)棱A₁A⊥底面ABC
∴側(cè)面BB₁C₁C是矩形，
O為B₁C的中點(diǎn)，且D是棱AC的中點(diǎn)，
∴AB₁∥OD，…（3分）
∵OD平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D…（5分）
∴AB₁∥平面BC₁D…（6分）
（Ⅱ）AB₁∥OD，∴∠DOB為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補(bǔ)角．
$∠ABC=\frac{π}{2}$，AB=BC=BB₁=4$BD=2，OD=\frac{1}{2}A{B_1}=2，OB=2$，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠DOB=60°，…（11分）
∴異面直線AB₁與BC₁所成的角為60⁰．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，異面直線所成的角，關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化條件，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度中等．