Question

3．已知函數(shù)f（x）=2x+$\frac{a}{x}$（a∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
則f（-x）=-2x-$\frac{a}{x}$=-（2x+$\frac{a}{x}$）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)2≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2x₁-2x₂+$\frac{a}{{x}_{1}}$-$\frac{a}{{x}_{1}}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（2{x}_{1}{x}_{2}-a）}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∵x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
∴2x₁x₂-a＞0，
∴a＜2x₁x₂，則a≤8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．