(2012•瀘州模擬)設函數(shù)f(x)=loga
1+x
1-x
(a>0且a≠1)

(I)求f(m)+f(n)-f(
m+n
1+mn
)
的值;
(II)若關于x的方程loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在x∈[0,1)上有實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
(III)設函數(shù)g(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù),求證:當a>1時,
n
k=1
g(a-k)<
lna
2(a-1)
(n∈N*).
分析:(I)利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡f(m)+f(n)的結果等于f(
m+n
1+mn
)
,從而得到f(m)+f(n)-f(
m+n
1+mn
)
的值.
(II)把條件等價轉(zhuǎn)化為t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上有實數(shù)解,利用導數(shù)判斷t在x∈[0,1)上是減函數(shù),得t(1)<t≤t(0),由此解得實數(shù)t的取值范圍.
(III)先求出函數(shù)g(x),設 G(x)=g(x)-
lna
2
x
,(x>0),利用導數(shù)判斷G(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,得到g(x)<
lna
2
x
,由此放縮要證得不等式成立.
解答:解:(I)∵函數(shù)f(x)=loga
1+x
1-x
(a>0且a≠1)
,∴f(m)+f(n)-f(
m+n
1+mn
)
=loga
1+m
1-m
+loga
1+n
1-n
-f(
m+n
1+mn
)
 
=loga(
1+m
1-m
1+n
1-n
)
-f(
m+n
1+mn
)
=loga(
1+m+n+mn
1-m-n+mn
)
-f(
m+n
1+mn
)
=loga
1+
m+n
1+mn
1-
m+n
1+mn
-f(
m+n
1+mn
)
=f(
m+n
1+mn
)
-f(
m+n
1+mn
)
=0.
(II)∵關于x的方程loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=f(x)
在x∈[0,1)上有實數(shù)解,
loga
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=loga
1+x
1-x
,
t
(1-x)(2x2-5x+5)
=
1+x
1-x
 在x∈[0,1)上有實數(shù)解,∴t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上有實數(shù)解.
∵t′=6x(x-1),x∈[0,1)時,t′<0,t=(x+1)(2x2-5x+5)在x∈[0,1)上是減函數(shù),
∴t(1)<t≤t(0),解得 4<t≤5.
∴實數(shù)t的取值范圍為(4,5].
(III)函數(shù)g(x)是函數(shù)f(x)的反函數(shù),f(x)的定義域為(-1,1),求得g(x)=f-1(x)=
ax-1
ax+1
 (x∈R).
設 G(x)=g(x)-
lna
2
x
,(x>0),則  G′(x)=g′(x)-
lna
2
=
-(ax-1)2
(ax+1)2
• lna
≤0.
∵a>1,∴G(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減,當x>0時,G(x)<G(0),即 g(x)<
lna
2
x

∴a>1時,
n
k=1
g(a-k)
lna
2
 (
1
a
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
)=
lna
2
1-
1
an
a-1
lna
2
1
a-1
=
lna
2(a-1)


n
k=1
g(a-k)
lna
2(a-1)
,(n∈N*)成立.
點評:本題主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)的應用,求反函數(shù),以及用放縮法證明不等式,屬于難題.
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