Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-mx對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₂）-f（x₁）|≤9，求實(shí)數(shù)m的取值范圍$[-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}]$．

Answer 1

分析 依題意，f（x）_max-f（x）_min≤9，函數(shù)f（x）=x²-mx的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{m}{2}$，分①若$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0時(shí)，②若0＜$\frac{m}{2}$≤1，即0＜m≤2時(shí)，③若1＜$\frac{m}{2}$≤2，即2＜m≤4時(shí)，④若$\frac{m}{2}$＞2，即m＞4時(shí)，四類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性與最值分別求得各類中m的取值范圍，最后取并即可得到答案．

解答 解：∵f（x）=x²-mx對(duì)任意的x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₂）-f（x₁）|≤9，
∴f（x）_max-f（x）_min≤9，
∵函數(shù)f（x）=x²-mx的對(duì)稱軸方程為：x=$\frac{m}{2}$，
①若$\frac{m}{2}$≤0，即m≤0時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-mx在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，f（x）_max=f（2）=4-2m，f（x）_min=f（0）=0，依題意，4-2m≤9，解得：m≥-$\frac{5}{2}$，即-$\frac{5}{2}$≤m≤0；
②若0＜$\frac{m}{2}$≤1，即0＜m≤2時(shí)，同理可得，f（x）_max=f（2）=4-2m，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{4}$，依題意，4-2m-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）≤9，解得：-2≤m≤10，即0＜m≤2；
③若1＜$\frac{m}{2}$≤2即2＜m≤4時(shí)，同上得：f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（$\frac{m}{2}$）=-$\frac{{m}^{2}}{4}$，依題意，0-（-$\frac{{m}^{2}}{4}$）≤9，解得：-6≤m≤6，即2＜m≤4；
④若$\frac{m}{2}$＞2即m＞4時(shí)，函數(shù)f（x）=x²-mx在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，f（x）_max=f（0）=0，f（x）_min=f（2）=4-2m，依題意，0-（4-2m）≤9，解得：m≤$\frac{13}{2}$，即4＜m≤$\frac{13}{2}$；
綜合①②③④得：-$\frac{5}{2}$≤m≤$\frac{13}{2}$．
故答案為：$[{-\frac{5}{2}，\frac{13}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，重點(diǎn)考查二次函數(shù)的單調(diào)性與最值，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，考查推理與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．