Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程（x-2）²+y²=3．
（1）求

y

x

的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）

y

x

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

y

x

=k，即y=kx，求出直線y=kx與圓相切時(shí)，k的值，即可確定斜率k取最大值或最小值；
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值．

解答：解：（1）原方程表示以（2，0）為圓心，

3

為半徑的圓，

y

x

的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
所以設(shè)

y

x

=k，即y=kx
當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)

|2k-0|

k2+1

=

3

，∴k=±

3

所以

y

x

的最大值為

3

，最小值為-

3

．…（6分）
（2）y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，
此時(shí)

|2-0+b|

2

=

3

，解得b=-2±

6

所以y-x的最大值為-2+

6

，最小值為-2-

6

 …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．