Question

數(shù)列的前n項(xiàng)和為，和滿足等式
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
（Ⅲ）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；
（Ⅳ）設(shè)，求證：

Answer 1

（Ⅰ）="8" （Ⅱ）見解析（III）（Ⅳ）見解析

試題分析：（Ⅰ）令n=1,代入即可; （Ⅱ）利用兩邊同除以n+1,構(gòu)造等差數(shù)列即可; （III）由（II）可知數(shù)列是等差數(shù)列,求出的解析式,再利用求出的通項(xiàng)公式，代入,求出，再利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和;（Ⅳ）由（III）知,代入,求出的通項(xiàng)公式,再求出其前n項(xiàng)和,最后利用放縮法得到所求結(jié)果.
試題解析：（Ⅰ）由已知:
（Ⅱ）∵,同除以n+1,則有：,所以是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
（III）由（II）可知,  
 
當(dāng) 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n=1時(shí)也成立                  
解得：           
（Ⅳ）∵