Question

【題目】設，函數(shù).

（1）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）若，寫出函數(shù)的單調區(qū)間（寫出必要的過程，不必證明）；

（3）若存在，使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）在遞增，遞減，遞增；（3）.

【解析】

（1）當時，化簡函數(shù)的解析式，作出函數(shù)的圖象，即可求解；

（2）求出函數(shù)的解析式，結合二次函數(shù)的性質，分類討論，即可求解；

（3）當時，運用函數(shù)的單調性，結合函數(shù)的最值，即可求解.

（1）由題意，當時，函數(shù)

作出函數(shù)的圖象，如圖所示，

可得函數(shù)在區(qū)間上為單調遞增函數(shù)，

所以當，函數(shù)取得最大值，此時最大值為.

（2）由函數(shù)

①當時，，

因為，所以，所以函數(shù)在上單調遞增；

②當時，，

因為，所以，

所以函數(shù)在遞增，遞減；

綜上可得，函數(shù)在遞增，遞減，遞增.

（3）由（2）知，當時，函數(shù)在，遞增，遞減，當且僅當時，關于的方程有三個不相等的實數(shù)解，

即，

令，則函數(shù)在上是增函數(shù)，故，

所以，

即實數(shù)的取值范圍是.