【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點分別為、，過的直線交橢圓于，兩點，若橢圓的離心率為，的周長為16．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不經(jīng)過橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點，，設(shè)弦，的中點分別為，．證明：，，三點共線．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由已知橢圓E的離心率為，的周長為16，解得a，b的值，可得橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)，，．利用點差法，可得，，由此可得O，M，N三點共線．

（Ⅰ）解：由題意知，，．又，

，，

橢圓E的方程為；

（Ⅱ）證明：當直線AB、CD的斜率不存在時，由橢圓的對稱性知，

中點M，N在x軸上，O，M，N三點共線；

當直線AB，CD的斜率存在時，設(shè)其斜率為k，

且設(shè)，，．

則，，相減得，

，即，即，

；

同理可得，

，

所以O，M，N三點共線．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）討論函數(shù)的定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；

（2）若函數(shù)在處取得極值，恒成立，求實數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為橢圓的左右焦點，點在橢圓上，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線分別交橢圓于和，且，問是否存在常數(shù)，使得等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓的方程為：，直線的方程為.

（1）求證：直線恒過定點；

（2）當直線被圓截得的弦長最短時，求直線的方程；

（3）在（2）的前提下，若為直線上的動點，且圓上存在兩個不同的點到點的距離為，求點的橫坐標的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓經(jīng)過拋物線與坐標軸的三個交點．

（1）求圓的方程；

（2）經(jīng)過點的直線與圓相交于，兩點，若圓在，兩點處的切線互相垂直，求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，的直角邊OA在x軸上，頂點B的坐標為，直線CD交AB于點，交x軸于點.

(1)求直線CD的方程；

(2)動點P在x軸上從點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸正方向運動，過點P作直線l垂直于x軸，設(shè)運動時間為t.

①點P在運動過程中，是否存在某個位置，使得?若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

②請?zhí)剿鳟?/span>t為何值時，在直線l上存在點M，在直線CD上存在點Q，使得以OB為一邊，O，B，M，Q為頂點的四邊形為菱形，并求出此時t的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的值域；

（2）若將函數(shù)向右平移個單位得到函數(shù)，且為奇函數(shù).

①求的最小值；

②當取最小值時，若與函數(shù)在y軸右側(cè)的交點橫坐標依次為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時,（i）求曲線在點處的切線方程;

（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若,求證: .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】記函數(shù)的定義域為D. 如果存在實數(shù)、使得對任意滿

足且的x恒成立，則稱為函數(shù).

（1）設(shè)函數(shù)，試判斷是否為函數(shù)，并說明理由；

（2）設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)，證明： 是函數(shù)；

（3）若是定義在上的函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線（m為常數(shù)）對稱，試判斷是否為周期函數(shù)？并證明你的結(jié)論.

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