Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：，，，，四點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上.

（1）若線(xiàn)段的斜率為，求線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（2）記，若直線(xiàn)，均過(guò)定點(diǎn)，且，，分別為，的中點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線(xiàn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)，，分別代入拋物線(xiàn)方程并作差，結(jié)合線(xiàn)段的斜率為，可求出的值；

（2）設(shè)出直線(xiàn)，的方程，分別與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可得到，坐標(biāo)的表達(dá)式，進(jìn)而求得直線(xiàn)方程的表達(dá)式，結(jié)合，證明在直線(xiàn)上即可.

（1）設(shè)，，由，在拋物線(xiàn)上，得，

兩式相減可得.

由題意知，，所以，

則，則線(xiàn)段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

（2）因?yàn)?/span>，故直線(xiàn)，的斜率存在且不為零.

設(shè)直線(xiàn)，直線(xiàn).易知，，.

由，得，則.

設(shè).則，，即.

同理可得，.

所以，則直線(xiàn).

因?yàn)?/span>，所以，即.

所以直線(xiàn)，故直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，即，，三點(diǎn)共線(xiàn).