Question

若一個(gè)正四面體的表面積為S₁，其內(nèi)切球的表面積為S₂，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，利用體積分割法計(jì)算出內(nèi)切球半徑r=a，從而得到S₂關(guān)于a的式子．利用正三角形面積公式，算出正四面體的表面積S₁關(guān)于a的式子，由此不難得出S₁與S₂的比值．
解答：解：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，可得
∵等邊三角形ABC的高等于a，底面中心將高分為2：1的兩段
∴底面中心到頂點(diǎn)的距離為×a=a
可得正四面體ABCD的高為h==a
∴正四面體ABCD的體積V=×S_△ABC×a=a²，
設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為r，則4××S_△ABC×r=a²，解得r=a
∴內(nèi)切球表面積S₂=4πr²=
∵正四面體ABCD的表面積為S₁=4×S_△ABC=a²，
∴==
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體，求它的表面積與其內(nèi)切球表面積的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)、球的表面積公式和多面體的外接、內(nèi)切球算法等知識(shí)，屬于中檔題．