Question

在交通擁擠及事故多發(fā)地段，為確保交通安全，規(guī)定在此地段內(nèi)，車距d是車速V（公里/小時）的平方與車身長S（米）積的正比例函數(shù)，且車距不得小于車身長的一半，現(xiàn)假設(shè)車速為50公里/小時的時候，車距恰為車身長．
（1）試寫出d關(guān)于V的分段函數(shù)式（其中S為常數(shù)）；
（2）問車速多大時，才能使此地段的車流量Q=

1000V

d+s

最大．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)車距d是車速v（千米/小時）的平方與車身長s（米）之積的正比例函數(shù)，可假設(shè)函數(shù)解析式．利用車速為50千米/小時，車距恰為車身長．可求d關(guān)于v的解析式；
（2）根據(jù)Q=

1000v

d+s

，可得關(guān)于v的函數(shù)，利用基本不等式可求最值．

解答：解：（1）∵車距d是車速V（公里/小時）的平方與車身長S（米）積的正比例函數(shù)，設(shè)d=KV²S，
∵V=50時，d=s，得s=K×50²×S，
∴K=

1

2500

，
∴d=

1

2500

V2S，又d=

1

2

S時，V=25

2

，
∴當(dāng)0＜V≤25

2

時，車距d=車身長的一半，
 當(dāng)V＞25

2

時，車距d=

1

2500

V2S．
∴d關(guān)于V的分段函數(shù)式d=

1 2 S(0＜V≤25 2 ) 1 2500 V2S(V＞25 2 )

．
（2）Q=

2000V 3S (0＜V≤25 2 )(1) 1000V S(1+ V2 2500 ) (V＞25 2 )(2)

對于（1），V=25

2

時，Q極大值=

50000 2

3S

對于（2），Q=

1000

S( 1 V + V 2500 )

≤

1000

S•2 1 V • V 2500

=

25000

S

∴當(dāng)且僅當(dāng)

1

V

=

V

2500

即V=50時，Q極大值=

25000

S

∵

25000

S

＞

50000 2

3S

，
∴V=50（公里/小時），即車速為50公里/小時時，才能使此地段的車流量Q=

1000V

d+s

最大．

點評：本題的考點是根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．主要考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，同時考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．