Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sin（ωx+$\frac{π}{2}$）sinωx+a（其中ω＞0，a∈R），且f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$．且f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]上的最小值為0．
（1）求a，ω的值；
（2）用五點(diǎn)法作出它一個(gè)周期范圍內(nèi)的簡圖．

Answer 1

分析 （1）先用三角恒等式將函數(shù)f（x）表達(dá)式化簡，再將最高點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出ω的值，由x的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可解得a的值．
（2）根據(jù)“五點(diǎn)法”作圖的步驟，我們令相位角x+$\frac{π}{3}$分別等0，$\frac{π}{2}$，π，$\frac{3π}{2}$，2π，并求出對應(yīng)的x，y值，描出五點(diǎn)后，用平滑曲線連接后，即可得到函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$的一個(gè)周期內(nèi)的簡圖．

解答 （本題滿分為10分）
解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sin（ωx+$\frac{π}{2}$）sinωx+a
=f（x）=$\sqrt{3}$cos²ωx+sinωxcosωx+a
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a
=sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∵f（x）的圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{π}{6}$，
∴2ω-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
∴ω=$\frac{1}{2}$；
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴x+$\frac{π}{3}$∈[0，$\frac{7π}{6}$]，
∴當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，sin（x+$\frac{π}{3}$）取最小值-$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]的最小值為-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a，
∴-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+a=0，
∴a=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴f（x）=sin（x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．…5分
（2）列表：

x+$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{3}$
y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）	0	2	0	-2	0

函數(shù)函數(shù)y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的在區(qū)間[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{3}$]上的圖象如下圖所示：

…10分

點(diǎn)評 本題考查了五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，其中描出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，本題可以培養(yǎng)答題者運(yùn)用知識(shí)靈活轉(zhuǎn)化的能力，屬于中檔題．