Question

11．如圖，在xOy平面上，點A，B在單位圓上，已知A（1，0），∠AOB=θ（0＜θ＜π）
（Ⅰ）若點B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求$\frac{sin（π+θ）+cos（\frac{3π}{2}-θ）}{cos（\frac{π}{2}+θ）tan（π-θ）}$的值；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=\frac{18}{13}$，求tanθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)的誘導公式以及三角函數(shù)的定義進行化簡求解即可；
（Ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積的定義結(jié)合向量數(shù)量積和三角函數(shù)的關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解．

解答 解：（Ⅰ）$\frac{{sin（π+θ）+cos（\frac{3π}{2}-θ）}}{{cos（\frac{π}{2}+θ）tan（π-θ）}}=\frac{-sinθ-sinθ}{-sinθ（-tanθ）}=\frac{-2sinθ}{sinθtanθ}=-\frac{2}{tanθ}$-------（3分）
因為$B（-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}）$，
所以$tanθ=\frac{y}{x}=-\frac{4}{3}$，
所以原式=$-\frac{2}{tanθ}=\frac{3}{2}$----------------------（6分）
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{OA}=（1，0），\overrightarrow{OB}=（cosθ，sinθ）$，∴$\overrightarrow{OC}=（1+cosθ，sinθ）$，--------------（8分）
∴$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=cosθ（1+cosθ）+{sin^2}θ=cosθ+{cos^2}θ+{sin^2}θ=\frac{18}{13}$，
∴$cosθ=\frac{5}{13}$，----------------------（10分）
∵0＜θ＜π，
∴$sinθ=\frac{12}{13}$，
∴$tanθ=\frac{12}{5}$．----------------------（12分）

點評 本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算以及向量和三角函數(shù)的綜合，根據(jù)相應的公式進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．