如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都為a,P為A1B上的點.
(1)試確定
A1P
PB
的值,使得PC⊥AB;
(2)若
A1P
PB
=
2
3
,求二面角P-AC-B的大;
(3)在(2)的條件下,求C1到平面PAC的距離.
分析:(1)先建立空間直角坐標(biāo)系,求出各點的坐標(biāo),直接根據(jù)PC⊥AB對應(yīng)的數(shù)量積為0即可求出點P的位置;
(2)先根據(jù)條件求出點P的坐標(biāo),再求出兩個平面的法向量,代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論;
(3)直接利用公式h=|
C1C
|•cos<
n
,
C1C
>計算即可.
解答:解:以A為原點,AB為X軸,過點A且與AB垂直的直線為Y軸,AA1為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-XYZ;
則B(a,0,0),A1(0,0,a);C(
a
2
,
3
2
a,0),P(x,0,x);
(1)由
CP
AB
=0⇒(x-
a
2
,-
3
2
a,z)•(a,0,0)=0,
即(x-
a
2
)•a=0,x=
a
2

所以:P為AB的中點;
A1P
PB
=1時,PC⊥AB;
(2)當(dāng)
A1P
PB
=
2
3
時,即
A 1P
=
2
3
PB
,
得(x,0,z-a)=
2
3
(a-x,0,-z)
3x=2a-2x
3(z-a)=-2z
x=
2
5
a
z=
3
5
a
,
所以:P(
2a
5
,0,
3a
5
).
設(shè)平面PAC的一個法向量
n
=(b,c,d)
n
AP
=0
n
AC
=0

(b,c,d)• (
2a
5
,0,
3a
5
)=0
(b,c,d)•(
a
2
,
3
a
2
,0)=0
2a 
5
•b+
3a
5
•d=0
a
2
•b+
3
a
2
•c=0
;
取b=3,則c=-
3
,d=-2.
n
=(3,-
3
,-2),
又平面ABC的一個法向量
m
=(0,0,1),
∴cos<
n
m
>=
n
m
|
n
|•|
m
|
=
-2
4×1
=-
1
2

∴二面角P-AC-B的大小180°-120°=60°.
(3)設(shè)C1到平面PAC的距離為h,
則h=|
C1C
|•cos<
n
,
C1C
>=
|
n
C1C
|
|
n
|
=
|(3,-
3
,-2)•(0,0,-a)|
4
=
a
2

故C1到平面PAC的距離為
a
2
點評:本題是對立體幾何知識的綜合考察,其中涉及到點到面的距離,二面角,線線垂直等知識,屬于綜合性很強的題目,要認真分析.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長都為a,P為線段A1B上的動點.
(Ⅰ)試確定A1P:PB的值,使得PC⊥AB;
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13
13
cm.

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3
48
a3
3
48
a3

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