Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x，g（x）=e^x-ax（a∈R）．其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求曲線f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=g（x）-1-xlnx（x∈（0，2]），求證：當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）已知正數(shù)m滿足：存在x₀∈[1，+∞）使得g（x₀）+g（-x₀）＜mf（-x₀）成立，且m^e-1＞e^m-1，
求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=3x²-3，從而得到切線斜率為f′（2）=9，從而寫出切線方程；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)F（x）=e^x-1-ax-xlnx，從而得a=

ex-1

x

-lnx，設(shè)h(x)=

ex-1

x

-lnx，求導(dǎo)h′(x)=

(ex-1)(x-1)

x2

，從而化為最值問(wèn)題；
（Ⅲ）化簡(jiǎn)G（x）=g（x）+g（-x）=e^x+e^-x，從而G′（x）=e^x-e^-x，當(dāng)x＞1時(shí)G′（x）＞0，從而證明單調(diào)性；再令h（x）=mf（-x）=m（-x³+3x），h′（x）=-3m（x²-1），從而確定函數(shù)的單調(diào)性；從而可化得（e-1）lnm-m+1＞0，設(shè)H（m）=（e-1）lnm-m+1，從而求導(dǎo)H′(m)=

e-1

m

-1=

e-1-m

m

 ， m＞0，化為最值問(wèn)題．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x³-3x得f′（x）=3x²-3，
因點(diǎn)（2，f（2））在曲線上，
所以切線斜率為f′（2）=9，
切線方程為y-2=9（x-2），
故直線方程為9x-y-16=0；
（Ⅱ）證明：因?yàn)镕（x）=e^x-1-ax-xlnx，
由F（x）=0得，a=

ex-1

x

-lnx，
設(shè)h(x)=

ex-1

x

-lnx，
則h′(x)=

(ex-1)(x-1)

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）單調(diào)遞減，（1，2）單調(diào)遞增，
又h（1）=e-1，
所以當(dāng)a＜e-1時(shí)，函數(shù)F（x）無(wú)零點(diǎn)；
（Ⅲ）G（x）=g（x）+g（-x）=e^x+e^-x，
則G′（x）=e^x-e^-x，當(dāng)x＞1時(shí)G′（x）＞0，
∴G（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
令h（x）=mf（-x）=m（-x³+3x），h′（x）=-3m（x²-1），
∵m＞0，x＞1，
∴h′（x）＜0，
即h（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵存在x₀∈[1，+∞），使得g(x0)+g(-x0)＜m(-x03+3x0)，
∴G(1)=e+

1

e

＜2m，
即m＞

1

2

(e+

1

e

)，
∵m^e-1＞e^m-1，
∴（e-1）lnm＞m-1，
即（e-1）lnm-m+1＞0，
設(shè)H（m）=（e-1）lnm-m+1，
則H′(m)=

e-1

m

-1=

e-1-m

m

 ， m＞0，
當(dāng)0＜m＜e-1時(shí)，H′（m）＞0，H（m）單調(diào)遞增，
當(dāng)m＞e-1時(shí)，H′（m）＜0，H（m）單調(diào)遞減，
而H（1）=H（e）=0，
所以使H（m）＞0的m滿足1＜m＜e；
故符合條件的m滿足

1

2

(e+

1

e

)＜m＜e．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問(wèn)題化為最值問(wèn)題的應(yīng)用，屬于難題．