【題目】海事救援船對一艘失事船進行定位:以失事船的當前位置為原點,以正北方向為y軸正方向建立平面直角坐標系(以1海里為單位長度),則救援船恰好在失事船正南方向12海里A處,如圖,現(xiàn)假設:
①失事船的移動路徑可視為拋物線 ;
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援;
③救援船出發(fā)t小時后,失事船所在位置的橫坐標為7t
(1)當t=0.5時,寫出失事船所在位置P的縱坐標,若此時兩船恰好會合,求救援船速度的大小和方向.
(2)問救援船的時速至少是多少海里才能追上失事船?
【答案】
(1)解:t=0.5時,P的橫坐標xP=7t= ,代入拋物線方程 中,得P的縱坐標yP=3.
由|AP|= ,得救援船速度的大小為 海里/時.
由tan∠OAP= ,得∠OAP=arctan ,故救援船速度的方向為北偏東arctan 弧度.
(2)解:設救援船的時速為v海里,經(jīng)過t小時追上失事船,此時位置為(7t,12t2).
由vt= ,整理得 .
因為 ,當且僅當t=1時等號成立,所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.
因此,救援船的時速至少是25海里才能追上失事船.
【解析】(1)t=0.5時,確定P的橫坐標,代入拋物線方程 中,可得P的縱坐標,利用|AP|= ,即可確定救援船速度的大小和方向;(2)設救援船的時速為v海里,經(jīng)過t小時追上失事船,此時位置為(7t,12t2),從而可得vt= ,整理得 ,利用基本不等式,即可得到結論.
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【題目】已知f(x)在R上是單調(diào)遞減的一次函數(shù),且f(f(x))=4x-1.
(1)求f(x);
(2)求函數(shù)y=f(x)+x2-x在x∈[-1,2]上的最大值與最小值.
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【題目】如圖,動點M到兩定點A(﹣1,0)、B(2,0)構成△MAB,且∠MBA=2∠MAB,設動點M的軌跡為C.
(1)求軌跡C的方程;
(2)設直線y=﹣2x+m與y軸交于點P,與軌跡C相交于點Q、R,且|PQ|<|PR|,求 的取值范圍.
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【題目】如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC=2,若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù),則四面體ABCD的體積的最大值是 .
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【題目】總決賽采用7場4勝制,2018年總決賽兩支球隊分別為勇士和騎士,假設每場比賽勇士獲勝的概率為0.7,騎士獲勝的概率為0.3,且每場比賽的結果相互獨立,則恰好5場比賽決出總冠軍的概率為__________.
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【題目】設集合,其中.
(1)寫出集合中的所有元素;
(2)設,證明“”的充要條件是“”
(3)設集合,設,使得,且,試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.
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【題目】如圖
(1)證明命題“a是平面π內(nèi)的一條直線,b是π外的一條直線(b不垂直于π),c是直線b在π上的投影,若a⊥b,則a⊥c”為真.
(2)寫出上述命題的逆命題,并判斷其真假(不需要證明)
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【題目】“中國人均讀書本(包括網(wǎng)絡文學和教科書),比韓國的本、法國的本、日本的本、猶太人的本少得多,是世界上人均讀書最少的國家”,這個論斷被各種媒體反復引用.出現(xiàn)這樣統(tǒng)計結果無疑是令人尷尬的,而且和其他國家相比,我國國民的閱讀量如此之低,也和我國是傳統(tǒng)的文明古國、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書興趣,特舉辦讀書活動,準備進一定量的書籍豐富小區(qū)圖書站,由于不同年齡段需看不同類型的書籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對小區(qū)內(nèi)看書人員進行年齡調(diào)查,隨機抽取了一天名讀書者進行調(diào)查,將他們的年齡分成段:,,,,,后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問:
(1)估計在這名讀書者中年齡分布在的人數(shù);
(2)求這名讀書者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)若從年齡在的讀書者中任取名,求這兩名讀書者年齡在的人數(shù)恰為的概率.
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