Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在R₊上的函數(shù)，并且滿足下面三個(gè)條件：
（1）對(duì)任意正數(shù)x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
（3）f（3）=-1，
（Ⅰ）求f（1）、f(

1

9

)的值；
（Ⅱ）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范圍．
（Ⅲ）如果存在正數(shù)k，使不等式f（kx）+f（2-x）＞2有解，求正數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）對(duì)于任意的x，y∈（0，+∞），f（x•y）=f（x）+f（y），令x=y=1，x=y=3，即可求得f（1）、f(

1

9

)的值；且當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性．
（II）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式，解不等式即可求得結(jié)果．
（III）把f（kx）+f（2-x）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為f[kx（2-x）]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值不等式轉(zhuǎn)化為自變量不等式有解，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化我求函數(shù)的最值問(wèn)題．

解答：解：（I）令x=y=1易得f（1）=0．
而f（9）=f（3）+f（3）=-1-1=-2 且f(9)+f(

1

9

)=f(1)=0，
得f(

1

9

)=2．
（II）設(shè)0＜x₁＜x₂＜+∞，由條件（1）可得f(x2)-f(x1)=f(

x2

x1

)，
因

x2

x1

＞1，由（2）知f(

x2

x1

)＜0，
所以f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在R₊上是遞減的函數(shù)．
由條件（1）及（I）的結(jié)果得：f[x(2-x)]＜f(

1

9

)
其中0＜x＜2，由函數(shù)f（x）在R₊上的遞減性，可得：

x(2-x)＞ 1 9 0＜x＜2

，
由此解得x的范圍是(1-

2 2

3

，1+

2 2

3

)．
（III）同上理，不等式f（kx）+f（2-x）＜2可化為kx(2-x)＞

1

9

且0＜x＜2，
得k＞

1

9x(2-x)

，此不等式有解，等價(jià)于k＞[

1

9x(2-x)

]min，
在0＜x＜2的范圍內(nèi)，易知x（2-x）_max=1，
故k＞

1

9

即為所求范圍．

點(diǎn)評(píng)：考查利用函數(shù)單調(diào)性的定義探討抽象函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，對(duì)于解決抽象函數(shù)的一般采用賦值法，求某些點(diǎn)的函數(shù)值和證明不等式等，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，（Ⅲ）不等式f（kx）+f（2-x）＜2有解，采取分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，加大了試題的難度，屬中檔題．