Question

已知各項為正的數列{a_n}的首項為a₁=2sinθ（θ為銳角），

4- a 2 n

+a_n+1²=2，數列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹a_n．
（1）求證：當x∈（0，

π

2

）時，sinx＜x
（2）求a_n，并證明：若θ=

π

4

，則a₁+a₂+…+a_n＜π
（3）是否存在最大正整數m，使得b_n≥msinθ對任意正整數n恒成立？若存在，求出m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜

π

2

），則f′(x)=cosx-1(0＜x＜

π

2

)，由此能夠證明sinx＜x．
（2）由

4-an2

+an+12=2，得an+1=

2- 4-an2

(an＞0)，由a₁=2sinθ，得a2=

2- 4-a12

=

2-2cosθ

=2sin

θ

2

，a3=

2- 4-a22

=

2-2cos θ 2

=2sin

θ

4

，猜想：an=2sin

θ

2n-1

．然后用數學歸納法證明．
（3）由bn=2n+1an=2n+2sin

θ

2 n-1

，知

bn+1

bn

=

2sin θ 2n

sin θ 2n-1

=

2sin θ 2 n

sin θ 2 n-1

=

2sin θ 2n

2sin θ 2 n cos θ 2 n

=

1

cos θ 2 n

＞1，由此能求出存在最大自然數m=8滿足條件．

解答：解：（1）令f（x）=sinx-x（0＜x＜

π

2

），則f′(x)=cosx-1(0＜x＜

π

2

)，
故f（x）＜f（0）=0，即sinx＜x．…（3分）
（2）由

4-an2

+an+12=2，得an+1=

2- 4-an2

(an＞0)，
又a₁=2sinθ，
∴a2=

2- 4-a12

=

2-2cosθ

=2sin

θ

2

，
a3=

2- 4-a22

=

2-2cos θ 2

=2sin

θ

4

，
猜想：an=2sin

θ

2n-1

．…（5分）
下面用數學歸納法證明：
①n=1時，a₁=2sinθ，成立，
②假設n=k時命題成立，即ak=2sin

θ

2k-1

，則n=k+1時，
ak+1=

2- 4-ak2

=

2- 4-(2sin θ 2k-1 )2

=

2-2cos θ 2k-1

=2sin

θ

2k

，
即n=k+1時命題成立．由①②知an=2sin

θ

2n-1

對n∈N*成立．…（8分）
由（1）知an=2sin

θ

2n-1

＜

θ

2n-2

，n∈N*
故a1+a2+…+an＜

θ

2-1

+θ+

θ

2

+…+

θ

2n-2

=

2θ[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4θ[1-(

1

2

)n]＜4θ．
因此θ=

π

4

時，a₁+a₂+…+a_n＜π．…（11分）
（3）bn=2n+1an=2n+2sin

θ

2 n-1

，
故

bn+1

bn

=

2sin θ 2n

sin θ 2n-1

=

2sin θ 2 n

sin θ 2 n-1

=

2sin θ 2n

2sin θ 2 n cos θ 2 n

=

1

cos θ 2 n

＞1，
{b_n}為遞增數列，因此要使b_n≥msinθ對任意正整數n恒成立，
只需b₁≥msinθ成立，而b₁≥8sinθ，因此m≤8，
故存在最大自然數m=8滿足條件．  …（14分）

點評：本題考查數列與三角函數的綜合應用，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數知識和數學歸納法的靈活運用．