【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,己知是橢圓的右焦點(diǎn),是橢圓上位于軸上方的任意一點(diǎn),過作垂直于的直線交其右準(zhǔn)線于點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若,求證:直線與橢圓相切;
(3)在橢圓上是否存在點(diǎn),使四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)見解析(3)存在,.
【解析】
(1)準(zhǔn)線方程為,結(jié)合即可得到答案;
(2),由點(diǎn)斜式寫出的方程,進(jìn)一步得到的坐標(biāo),利用P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)寫出方程,再與橢圓方程聯(lián)立消元,判斷方程解的個數(shù)即可;
(3)當(dāng)直線的斜率不存在,則,.此時存在,使得四邊形是平行四邊形;當(dāng)直線的斜率存在,設(shè),分別求出的坐標(biāo),利用及解方程組即可判斷.
(1)由題意,,
解得,
所以橢圓的方程為.
(2)因為,
由于,所以,所以.
設(shè),則,
所以,即點(diǎn)的坐標(biāo)為.
由直線的斜率為,所以直線的方程為,
令,得,即,
所以直線的方程為.
聯(lián)立方程組,消得,
化簡可得,,即方程有唯一解.
所以上述方程組有唯一解,即直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn),
所以直線與橢圓相切.
(3)若直線的斜率不存在,則,.
此時存在,使得四邊形是平行四邊形.
若直線的斜率存在,設(shè),則,
由直線的斜率為,知直線的方程為.
令,得,即,
所以直線的斜率.
假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn),使四邊形是平行四邊形,
則∥,∥.
所以直線的方程為,聯(lián)立橢圓,
可得,
所以直線的斜率.
又直線的斜率,
令,即,
化簡可得,.
又,可以解得,,這與矛盾!
綜上,符合條件的點(diǎn)只有一個,其坐標(biāo)為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品的包裝紙可類比如圖所示的平面圖形,其可看作是由正方形和等腰梯形拼成,已知,,在包裝的過程中,沿著將正方形折起,直至,得到多面體,分別為中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)求四棱錐的體積.
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【題目】某企業(yè)員工500人參加“學(xué)雷鋒”志愿活動,按年齡分組:第1組,第2組,第3組,第4組,第5組,得到的頻率分布直方圖如圖所示.
區(qū)間 | |||||
人數(shù) | 50 | 50 | a | 150 | b |
(1)上表是年齡的頻數(shù)分布表,求正整數(shù)的值;
(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1,2,3組中用分層抽樣的方法抽取6人,年齡在第1,2,3組的人數(shù)分別是多少?
(3)在(2)的前提下,從這6人中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)宣傳交流活動,求至少有1人年齡在第3組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下數(shù)表構(gòu)造思路源于我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中的“楊輝三角形”.
該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起,第一行中的數(shù)字均等于其“肩上”兩數(shù)之和,表中最后行僅有一個數(shù),則這個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題正確的個數(shù)為( )
①“都有”的否定是“使得”;
②“”是“”成立的充分條件;
③命題“若,則方程有實數(shù)根”的否命題;
④冪函數(shù)的圖像可以出現(xiàn)在第四象限.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),證明:當(dāng)時,函數(shù)沒有極值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為響應(yīng)國家“精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧”的號召,某貧困縣在精準(zhǔn)推進(jìn)上下功夫,在精準(zhǔn)扶貧上見實效.根據(jù)當(dāng)?shù)貧夂蛱攸c(diǎn)大力發(fā)展中醫(yī)藥產(chǎn)業(yè),藥用昆蟲的使用相應(yīng)愈來愈多,每年春暖以后到寒冬前,昆蟲大量活動與繁殖,易于采取各種藥用昆蟲.已知一只藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y(單位:個)與一定范圍內(nèi)的溫度x(單位:℃)有關(guān),于是科研人員在3月份的31天中隨機(jī)選取了5天進(jìn)行研究,現(xiàn)收集了該種藥物昆蟲的5組觀察數(shù)據(jù)如表:
日期 | 2日 | 7日 | 15日 | 22日 | 30日 |
溫度/℃ | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
產(chǎn)卵數(shù)y/個 | 22 | 24 | 29 | 25 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記這2天藥用昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)分別為m,n,求“事件m,n均不小于24”的概率?
(2)科研人員確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.
①若選取的是3月2日與3月30日這2組數(shù)據(jù),請根據(jù)3月7日、15日和22日這三組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程?
②若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的差的絕對值均不超過2個,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問①中所得的線性回歸方程是否可靠?
附公式:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,直線:,直線:.以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系.
(1)求直線,的直角坐標(biāo)方程以及曲線的參數(shù)方程;
(2)已知直線與曲線交于,兩點(diǎn),直線與曲線C交于,兩點(diǎn),求的面積.
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