Question

已知函數(shù)f（x）=1-2sin²+sinx，若x₀∈（），且f（x₀），則f（x₀+）=________．

Answer 1

分析：把函數(shù)解析式前兩項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，由f（x₀）的值，得到sinx₀+cosx₀的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形可得出sinx₀-cosx₀的值，兩者聯(lián)立求出sinx₀和cosx₀的值，然后把所求式子中的自變量的值代入化簡(jiǎn)后的解析式中，利用兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，將求出sinx₀和cosx₀的值代入即可求出值．
解答：函數(shù)f（x）=1-2sin²+sinx
=cosx+sinx，又f（x₀）=，
化簡(jiǎn)得：sinx₀+cosx₀=①，又sin²x₀+cos²x₀=1，
∴（sinx₀+cosx₀）²=sin²x₀+2sinx₀cosx₀+cos²x₀=，
即2sinx₀cosx₀=-，
∴（sinx₀-cosx₀）²=sin²x₀-2sinx₀cosx₀+cos²x₀=1+=，
∵x₀∈（），∴sinx₀＞cosx₀，
∴sinx₀-cosx₀=②，
聯(lián)立①②解得：sinx₀=，cosx₀=-，
則f（x₀+）=cos（x₀+）+sin（x₀+）
=cosx₀+sinx₀
=．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系的運(yùn)用，兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，函數(shù)的值以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式，靈活運(yùn)用基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．