【題目】已知動圓C過點(1,0),且于直線x=﹣1相切.
(1)求圓心C的軌跡M的方程;
(2)A,B是M上的動點,O是坐標(biāo)原點,且 , 求證:直線AB過定點,并求出該點坐標(biāo).

【答案】解:(1)動圓C過點(1,0),且與直線x=﹣1相切,
∴圓心C的軌跡M是以(1,0)為焦點的拋物線,
∴圓心C的軌跡M的方程為y2=4x;
(2)設(shè)點A,B的坐標(biāo)為(x1 , y1)、(x2 , y2).
∵A,B在拋物線y2=4x上,
∴y12=4x1 , y22=4x2 , 即x1+x2=,x1x2=
=-4,
∴x1x2+y1y2=﹣4,
+y1y2=﹣4,
∴y1y2=﹣8.
設(shè)直線AB的方程為x=my+n,
聯(lián)立消元得:y2﹣4my﹣4n=0,則:y1+y2=4m,y1y2=﹣4n,
∴﹣4n=﹣8n=2,∴直線AB的方程為x=my+2,
∴直線AB恒過定點,且定點坐標(biāo)為(2,0).
【解析】(1)利用動圓C過點(1,0),且與直線x=﹣1相切,可得圓心C的軌跡M是以(1,0)為焦點的拋物線,即可得到動點M的軌跡方程.
(2)先設(shè)點A,BD的坐標(biāo)為(x1 , y1)、(x2 , y2),因為A,B兩點在拋物線y2=4x上,代入拋物線方程,找出每個點橫縱坐標(biāo)的關(guān)系式,再因為=-4,得到x1x2+y1y2=﹣4,設(shè)直線AB的方程為x=my+t,代入拋物線方程,利用韋達(dá)定理,可求t的值,即可求出該定點P的坐標(biāo).

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