Question

10．設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*．
（1）求數列{a_n-n}的通項公式；
（2）若數列b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}-{2^{n-1}}+2）}}$，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，變形為a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）由（1）可得：a_n-2^n-1=n．b_n=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a_n+1=2a_n-n+1，n∈N^*，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
∴{a_n-n}是等比數列，首項為1，公比為2，
∴a_n-n=2^n-1．
（2）由（1）可得：a_n-2^n-1=n．
∴b_n=$\frac{1}{{n（{a_n}-{2^{n-1}}+2）}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$，
∴數列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．