Question

4．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓ax²+y²=4a（0＜a＜1）的兩個(gè)焦點(diǎn)，A（0，2），點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，則|PA|-|PF₂|的最小值是（　�。�

• A． a
• B． 2a
• C． 2$\sqrt{1-a}$-4
• D． 2$\sqrt{2-a}$-4

Answer 1

分析 求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：根據(jù)橢圓的定義求得|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4≥|AF₁|-4，利用兩點(diǎn)之間的距離公式，即可求得|PA|-|PF₂|的最小值．

解答 解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{4a}=1$，由0＜a＜1，則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），c²=4-4a，
由橢圓的定義：|PF₁|+|PF₂|=4，
即|PF₂|=4-|PF₁|，
則|PA|-|PF₂|=|PA|-（4-|PF₁|）=|PA|+|PF₁|-4，
≥|AF₁|-4=2$\sqrt{{c}^{2}+4}$-4=2$\sqrt{2-a}$-4，
當(dāng)A，P，F(xiàn)₁共線時(shí)，|PA|-|PF₂|的最小值2$\sqrt{2-a}$-4，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查用橢圓的定義，運(yùn)用三點(diǎn)共線取得最小值的方法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．．