Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖，多面體EDABC中，AC，BC，CE兩兩垂直，AD∥CE，ED⊥DC，AD=

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CE，M為BE中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：平面BDE⊥平面BCD．

Answer 1

分析：（I）設(shè)N為BC中點(diǎn)，連接MN，AN，利用三角形的中位線定理及平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ANMD為平行四邊形．可得DM∥AN，再利用線面平行的判定定理即可證明；
（II）利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可得到BC⊥DE．又已知DE⊥DC，利用線面垂直判定定理即可得到DE⊥平面BCD．再利用面面垂直的判定定理即可證明．

解答：證明：（Ⅰ）設(shè)N為BC中點(diǎn)，連接MN，AN，
∵M(jìn)為BE中點(diǎn)，∴MN∥EC，且MN=

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EC，
∵AD∥EC，且AD=

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EC，
∴四邊形ANMD為平行四邊形．
∴AN∥DM∵DM?平面ABC，AN?平面ABC，
∴DM∥平面ABC．
Ⅱ）∵BC⊥AC，BC⊥CE，AC∩CE=C，
∴BC⊥平面ACED，
∵DE?平面ACED，∴BC⊥DE．
∵DE⊥DC，
又∵DE⊥BC，BC∩DC=C，∴DE⊥平面BCD．
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握三角形的中位線定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理是解題的關(guān)鍵．