Question

11．某廠家擬在暑期舉行大型的促銷活動(dòng)，經(jīng)測算某產(chǎn)品當(dāng)促銷費(fèi)用為x萬元時(shí)，銷售量t萬件滿足t=5-$\frac{2}{x}$（其中0≤x≤a，a為正常數(shù)）現(xiàn)擬定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費(fèi)用），產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為（4+$\frac{20}{t}$）萬元/萬件．
（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)
（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

Answer 1

分析 （1）由題意可知該產(chǎn)品的售價(jià)為2×（$\frac{10+2t}{t}$）萬元，因此y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）t-10-2t-x，化簡得該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；
（2）利用基本不等式可得因?yàn)閥=20-（$\frac{4}{x}$+x）≤16，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x}$=x即x=2時(shí)，上式取等號(hào)．再分a≥2與0＜a＜2兩類情況討論，利用函數(shù)的單調(diào)性可得促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大．

解答 解：（1）由題意知，該產(chǎn)品售價(jià)為2×（$\frac{10+2t}{t}$）萬元，y=2×（$\frac{10+2t}{t}$）t-10-2t-x，
代入化簡得：y=20-$\frac{4}{x}$-x（0≤x≤a）…5分
（2）因?yàn)閥=20-（$\frac{4}{x}$+x）≤20-2$\sqrt{4}$=16，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4}{x}$=x即x=2時(shí)，上式取等號(hào)．
所以當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤最大…9分
又當(dāng)0＜a＜2時(shí)，函數(shù)y=20-（$\frac{4}{x}$+x）在區(qū)間[0，a]上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)有最大值，即促銷費(fèi)用投入x=a萬元時(shí)，廠家的利潤最大．
綜上所述，當(dāng)a≥2時(shí)，促銷費(fèi)用投入2萬元時(shí)，廠家的利潤最大；
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，促銷費(fèi)用投入x=a萬元時(shí)，廠家的利潤最大…12分

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查基本不等式的應(yīng)用，考查分析問題、解決問題的能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．