16.已知函數(shù)f(x)=x2-kx(k∈R),g(x)=lnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),?a,b>0(a≠b),若?c>0,使得h′(c)=$\frac{h(a)-h(b)}{a-b}$,求證:$\sqrt{ab}$<c<$\frac{a+b}{2}$.

分析 (1)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有公共點(diǎn)⇒存在x>0,使得x2-kx=lnx,即只需方程k=x-$\frac{inx}{x}$有解即可.
(2)h(x)=x2-kx-lnx,h′(x)=2x-$\frac{1}{x}$-k在(0,+∞)上單調(diào)增,
不妨設(shè)a>b>0,則$\sqrt{ab}<c<\frac{a+b}{2}$⇒h′($\sqrt{ab}$)=h′(c)=$\frac{h(a)-h(b)}{a-b}$<h′($\frac{a+b}{2}$),
⇒$\left\{\begin{array}{l}{(a+b)-\frac{lna-lnb}{a-b}-k<(a+b)-\frac{2}{a+b}-k\\;\\;\\;.\\;\\;…}\\{2\sqrt{ab}-\frac{1}{\sqrt{ab}}-k<(a+b)-\frac{lna-lnb}{a-b}-k…}\end{array}\right.$
?$\frac{lna-lnb}{a-b}>\frac{2}{a+b}$?$ln\frac{a}>2\frac{a-b}{a+b}=2\frac{\frac{a}-1}{\frac{a}+1}$,
∵$a+b>2\sqrt{ab}$恒成立,只需證明$\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{lna-lnb}{a-b}$?$ln\frac{a}<\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$,
令r=$\sqrt{\frac{a}}>1$,構(gòu)造函數(shù)n(r)=2lnr-(r-$\frac{1}{r}$)  (r>1),
求出函數(shù)n(r)的導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性,即可證明結(jié)論.

解答 解:(1)由題意,存在x>0,使得x2-kx=lnx,即k=x-$\frac{inx}{x}$,
令u(x)=x-$\frac{lnx}{x}$,則u′(x)=$\frac{{x}^{2}-1+lnx}{{x}^{2}}$,
令m(x)=x2-1+lnx,m(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),m(x)<m(1)=0,u′(x)<0,u(x)單調(diào)遞減.
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),m(x)>m(1)=0,u′(x)>0,u(x)單調(diào)遞增.
∴u(x)≥u(1)=1,
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍:[1,+∞).
(2)h(x)=x2-kx-lnx,h′(x)=2x-$\frac{1}{x}$-k在(0,+∞)上單調(diào)增,
不妨設(shè)a>b>0,則$\sqrt{ab}<c<\frac{a+b}{2}$⇒h′($\sqrt{ab}$)=h′(c)=$\frac{h(a)-h(b)}{a-b}$<h′($\frac{a+b}{2}$),
⇒$\left\{\begin{array}{l}{(a+b)-\frac{lna-lnb}{a-b}-k<(a+b)-\frac{2}{a+b}-k\\;\\;\\;.\\;\\;…}\\{2\sqrt{ab}-\frac{1}{\sqrt{ab}}-k<(a+b)-\frac{lna-lnb}{a-b}-k…}\end{array}\right.$
?$\frac{lna-lnb}{a-b}>\frac{2}{a+b}$?$ln\frac{a}>2\frac{a-b}{a+b}=2\frac{\frac{a}-1}{\frac{a}+1}$,
令$\frac{a}=t>1$,則構(gòu)造函數(shù)G(t)=lnt-2$\frac{t-1}{t+1}…(t>1)$,
∵$a+b>2\sqrt{ab}$恒成立,只需證明$\frac{1}{\sqrt{ab}}>\frac{lna-lnb}{a-b}$?$ln\frac{a}<\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$,
令r=$\sqrt{\frac{a}}>1$,構(gòu)造函數(shù)n(r)=2lnr-(r-$\frac{1}{r}$)  (r>1),
函數(shù)n′(r)=-($\frac{1}{r}-1$)2 <0恒成立,函數(shù)n(r)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
∴n(r)<n(1)=0,只需證明$ln\frac{a}<\frac{a-b}{\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}-\frac{\sqrt}{\sqrt{a}}$成立,
故結(jié)論:$\sqrt{ab}$<c<$\frac{a+b}{2}$成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想是關(guān)鍵,屬于難題.

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